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分享:《電路基礎— RC 電路》

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                                                                                       RC 充電電路
      當電壓源施加到 RC 電路上時,電容 C 通過電阻 R 進行充電。
      當施加直流(DC)或交流(AC)的信號或電壓時,所有電氣或電子電路或系 統在其輸入和輸出之間都會有某種形式的“時間延遲”。
      該延遲通常被稱為電路的時間延遲或時間常數,也是首次加入階躍電壓時電 路的時間響應。任何電子電路或系統的合成時間常數將主要取決于與其連接的容 性或感性的無功分量,并以 Tau-τ為單位響應時間。
      當增加的 DC 電壓施加到放電的電容器時,電容器吸收充電電流并“充電”, 并且當電壓降低時,電容器以相反的方向放電。由于電容器能夠存儲電能,因此 它們就像小電池一樣,可以根據需要存儲或釋放能量。
      電容器極板上的電荷如下:Q = CV。電容器能量的充電(存儲)和放電(釋 放)從來都不是瞬間發生的,使電容器充電或放電到其最大電源值的一定百分比 內所需的時間被稱為它的時間常數(τ)。
      如果電阻與電容串聯組成 RC 電路,則電容器將逐漸通過電阻器充電,直到 電容器兩端的電壓達到電源電壓。該時間也稱為瞬態響應,電容器完全充電所需 的時間相當于約 5 個時間常數或 5T。
      該瞬態響應時間 T 以τ = R×C(以秒為單位)測量,其中 R 是以歐姆為單位 的電阻器的值,C 是以法拉為單位的電容器的值。這就形成了 RC 充電電路的基礎,5T 也可以被認為是“5×RC”。
RC 充電電路
      下圖為一個電容(C)與一個電阻(R)串聯,形成一個 RC 充電電路,通過 機械開關連接在直流電池電源(Vs)上。當開關閉合時,電容器將逐漸通過電阻 器充電,直到其兩端的電壓達到電池的電源電壓。電容器充電的方式如下所示。
RC 充電電路

       假設上面的電容器 C 完全“放電”并且開關(S)完全斷開。這些是電路的 初始條件,然后 t = 0,i = 0 和 q = 0。當開關閉合時,時間從 t = 0 開始,電流開始通過電阻流入電容器。
       由于電容器兩端的初始電壓為零,(Vc = 0),電容對外部電路來說類似于短 路,并且最大電流流過僅受電阻器 R 限制的電路。然后通過使用基爾霍夫電壓定 律(KVL),電路周圍的壓降如下:

電路中現在的電流被成為充電電流,并且通過使用歐姆定律為實測值:I = Vs/ R。
RC 充電電路曲線

      電容器現在開始充電,如圖所示,RC 充電曲線的上升在開始時更陡峭,因為 充電速率在開始時最快,然后隨著電容器以較慢的速率進行額外充電而逐漸減小。
      隨著電容慢慢充電,其電路板上的電位差逐漸增加,電容器上的電荷達到其 最大可能電壓的 63%(我們上面曲線中的 0.63Vs)所需的實際時間,被稱為一 個時間常數(T)。
      該 0.63Vs 電壓點的縮寫為 1T(一個時間常數)。
      電容器繼續充電且 Vs 和 Vc 之間的電壓差降低,電路中的電流也是。然后在 其最終條件下,時間大于五個時間常數(5T),電容被認為是完全充電。t = ∞, i = 0,q = Q = CV。然后在無窮大處電流減小到零,電容器就像開路狀態一樣,因此電壓降完全只在電容器兩端。
      從數學上講,我們可以說電容器充電到一個時間常數(1T)所需的時間 如下:
RC 時間參數

      該 RC 時間常數僅指定電荷率,其中 R 為Ω,C 為法拉。
      由于電壓 V 與由等式給出的電容器上的電荷相關,Vc = Q/C,在充電期間的 任何時刻,電容器兩端的電壓值(Vc)上的電壓給出如下:

其中:
Vc 是電容兩端的電壓
Vs 是電源電壓
t是自施加電源電壓起經過的時間
RC 是 RC充電電路的時間常數
       在相當于 4 個時間常數(4T)的時間之后,該 RC 充電電路中的電容器幾乎 完全充電,電容器兩端的電壓現在約為其最大值的 98%,即 0.98Vs。電容器達到該 4T 點所需的時間稱為瞬態周期。  
       在 5T的時間之后,電容器現在被完全充電,并且電容器兩端的電壓(Vc) 等于電源電壓(Vs)。當電容器完全充電時,電路中不再有電流流過。該 5T 點之后的時間段稱為穩態時間段。
       然后我們可以在下表中顯示給定時間常數下 RC 充電電路中電容器的百分比 電壓和電流值。
RC 充電表

       注意,由于 RC 充電電路的充電曲線是指數的,實際上電容器由于存儲在電 容器中的能量而永遠不會變為 100%完全充電。因此,實際應用中,在五個時間常數之后,電容器就被認為是完全充電的。
      由于電容器 Vc 兩端的電壓隨時間變化,并且在每個時間常數達到 5T 時是不 同的值,我們可以在任何給定點計算電容器電壓 Vc 的值,例如:
RC充電電路示例 NO.1
計算以下電路的 RC 時間常數τ。

其中的時間常數,τ使用 T=R x C 計算,因此該例中的時間常數τ=T=R x C=47k x 1000uF=47s
    a)0.7 時間常數下電容兩端的電壓值是多少?
在 0.7 時間常數(0.7T)Vc = 0.5Vs。因此,Vc = 0.5×5V = 2.5V
    b)1 個時間常數下電容兩端的電壓值是多少?
在 1 時間常數(1T)Vc = 0.63Vs。因此,Vc = 0.63×5V = 3.15V
    c)電容器“完全充電”需要多長時間?
電容器將以 5 個時間常數充滿電。
1 時間常數(1T)= 47 秒,(從上面)。因此,5T = 5×47 = 235s
    d)100 秒后電容器兩端的電壓?
電壓公式為 Vc = V(1-e -t / RC)
等于:Vc = 5(1-e -100/47) RC =47s,因此,Vc = 4.4
我們已經看到電容器上的電荷由下式給出:Q = CV,并且當電壓首先施加到電容器的極板時,它以由其時間常數τ確定的速率充電。
                                                                               RC 放電電路
      在之前的 RC 充電電路教程中,我們看到了電容器 C 如何通過電阻器充電, 過了 5 個時間常數或 5T 的時間后,然后保持完全充電狀態。
      如果這個完全充電的電容器現在與其 DC 電池電源電壓斷開,它將無限期地 存儲其在充電過程中產生的能量(假設理想的電容器并忽略任何內部損耗),保 持其兩端的電壓恒定。
      如果現在拆下電池并用短路代替,當開關再次閉合時,電容器將通過電阻器 R 自身放電,因為我們現在有一個 RC 放電電路。當電容器通過串聯電阻器放電 時,電容器內存儲的能量被提取,電容器兩端的電壓 Vc 衰減到零,如下所示。
RC 放電電路

與之前的 RC 充電電路一樣,在 RC 放電電路中,時間常數(τ)仍然等于 63%的值。然后對于最初完全充電的 RC 放電電路,在一個時間常數 1T 之后電容器兩 端的電壓下降了其初始值的 63%,即其初始值的 1-0.63 = 0.37 或 37%。
      電路的時間常數是電容器放電至其完全充電值的 37%以內所需的時間。因此, 對于 RC 電阻電路,給出一個時間常數,因為電路板上的電壓代表其最終值的 37%, 即零伏特(完全放電),在我們的曲線中為為 0.37Vs。
     當電容器放電時,它以不斷失去電荷。在放電電路的初始條件開始時,是 T = 0,I = 0 和 q = Q。電容器兩端的電壓等于電源電壓及 VC = Vs。當板上的電壓處于 其最高值時,電路電流有最大放電電流。
RC 放電電路曲線

當開關閉合時,電容器現在開始放電,如圖所示,RC 放電曲線的衰減在開始 時更陡,因為放電速率在開始時最快,然后隨著電容器以較慢的速率失去電荷而 逐漸減小。隨著放電繼續,Vc 下降并且放電電流減少。
       與前面的充電電路一樣,電容器兩端的電壓 C 在 0.7T 時等于 0.5Vc,5T 后達 到完全放電的穩態。
       對于 RC 放電電路, 放電期間電容器兩端的電壓(Vc)隨時間的變化定義為:

其中:
Vc 是電容兩端的電壓
Vs 是電源電壓
t 是去掉電源電壓后經過的時間
RC RC 放電電路的時間常數
就像之前的 RC 充電電路一樣,我們可以說在 RC 放電電路中,電容器將其自身放電至一個時間常數所需的時間如下:

其中,R 是Ω,C 是法拉。
      然后我們可以在下表中顯示給定時間常數下 RC 放電電路中電容器的百分比 電壓和電流值。
RC 放電表

注意,由于 RC 放電電路的放電曲線是指數的,實際應用中,在五個時間常數之后,電容器被認為是完全放電的。
      因此,RC 電路的時間常數是衡量其充電或放電速度的指標。
RC 放電電路示例 No1
      電容器充滿電至 10 伏。當開關閉合時,計算后續 RC 放電電路的 RC 時間常數τ。

使用公式 T = R * C(秒)找到時間常數τ。
因此,時間常數τ給出為:T = R * C = 100k×22uF = 2.2s
    a)0.7 時間常數下電容兩端的電壓值是多少?
在 0.7 時間常數(0.7T)Vc = 0.5Vc。因此,Vc = 0.5×10V = 5V
    b)1 個時間常數后,電容兩端的電壓是多少?
在 1 時間常數(1T)Vc = 0.37Vc。因此,Vc = 0.37×10V = 3.7V
    c)電容器自身“完全放電”需要多長時間(等于 5 個時間常數)
1 時間常數(1T)= 2.2 秒。因此,5T = 5×2.2 = 11 秒
                                                                                  RC 波形
      在之前的 RC 充電和放電教程中,我們了解了電容器如何通過串聯電阻充電 和放電。當施加或除去恒定的 DC 電壓時,該電容器完全充電或完全放電所花費的時間等于五個 RC 時間常數或 5T。
      但是如果我們將這種恒定的直流電源改變為脈沖波或方波波形會發生什么 情況,該波形不斷地以由其時間周期或頻率確定的速率從最大值變為最小值。對 于給定的 RC 時間常數值,這會如何影響輸出 RC 波形?
      我們之前看到,當施加電壓時,電容器充電至 5T,而當電壓被移除時,電容 器放電至 5T。在 RC 充電和放電電路中,該 5T 時間常數值始終保持一致,因為 它只由電阻-電容(RC)固定。所以只能通過改變電容器本身或電路中的電阻器 的值來改變完全充電或放電電容所需的實際時間,如下所示。
典型 RC 波形

方波信號
        通過使用具有所需時間常數的 RC 電路可以獲得有用的波形。如果我們將連 續方波電壓波形應用于 RC 電路,其脈沖寬度恰好等于電路的 5RC 時間常數(5T), 那么電容器兩端的電壓波形將如下所示:
一個 5RC 輸入的波形

      電容兩端的電壓在充電至 Vc 和根據輸入電壓放電至零之間交替變化。在這 個例子中,輸入方波電壓波形的頻率(以及因此產生的時間周期,f = 1 / T)與恰好是 5RC 時間常數的兩倍。
      該(10RC)時間常數允許電容器在輸入波形的“ON”周期(0 至 5RC)期間 完全充電,然后在“OFF”期間(5 至 10RC)完全放電,從而實現完美匹配的RC 波形。
      如果輸入波形的時間周期變長(較低的頻率,?<1 / 10RC),例如相當于“8RC” 的“ON”半周期脈沖寬度,則電容將在充滿以及完全放電狀態下待更久的時間, 從而產生 RC 波形,如圖所示。
一個更長的 8RC 輸入波形

      然而,如果我們現在減少輸入波形的總時間周期(更高頻率,?> 1 / 10RC),比如說“4RC”,電容器將沒有足夠的時間在“開啟”期間完全充電或在“關閉”期間完全放電。因此,電容器上的合成電壓 Vc 將小于其最大輸入電壓,從而產生如下所示的 RC 波形。
一個更短的 4RC 輸入波形

      然后,通過改變 RC 時間常數或輸入波形的頻率,我們可以改變電容器兩端 的電壓,從而產生 Vc 和時間 t 之間的關系。這種關系可用于改變各種波形的形狀,使電容器兩端的輸出波形幾乎與輸入波形相似。
頻率響應
RC 積分器
      積分器是一種低通濾波器電路,一個方波輸入信號轉換成一個三角波形的輸 出。如上所述,如果 5RC 時間常數與輸入 RC 波形的時間周期相比較長,則所得 輸出將為三角形,輸入頻率越高,輸出幅度與輸入相比越低。

從中我們得出積分器的理想電壓輸出為:

RC 微分器
       微分器是一種高通濾波器電路,可以在其輸出的方波輸入信號轉換為高頻尖 峰。如果 5RC 時間常數與輸入波形的時間周期相比較短,那么電容器將在輸入周期的下一次改變之前可以更快地充滿電。
       當電容器充滿電時,電阻兩端的輸出電壓為零。輸入波形的下降沿的到達導 致電容器反向充電,從而產生負輸出尖峰,然后隨著方波輸入在每個周期期間改 變,輸出尖峰從正值變為負值。

從中我們得出積分器的理想電壓輸出為:



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交替正弦波輸入信號
      如果我們現在將這些 RC 電路的輸入 RC 波形更改為正弦波電壓信號的輸入 RC 波形,則結果輸出 RC 波形將保持不變,并且僅影響其幅度。通過改變電阻器 R 或電容器 C 的位置,可以根據輸入頻率值對這兩個電路的頻率響應做一個簡單 的一階低通或高通濾波器。
      低頻信號從輸入端傳遞到輸出端,衰減很小或沒有衰減,而高頻信號則衰減 到幾乎為零。高通濾波器電路也是如此。通常,在反應的點時已經下降 3 分貝(截 止頻率,?C)用于定義濾波器帶寬和 3 分貝的損失對應于輸出電壓的降低初始 值的 70.7%。
RC 濾波器截止頻率

其中 RC 是先前定義的電路的時間常數,可以用 tau,T 代替。這是時域和頻域概念如何相關的另一個示例。
wangdongchun
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